احتمالات تاس در تخته نرد

پایه‌ی محاسبه

P(پیشامد) = تعداد حالت‌های مساعد ÷ ۳۶

چون دو تاس مستقل‌اند و هرکدام شش حالت هم‌شانس دارند، فضای نمونه ۶×۶ است. توجه کن که حالت‌ها «مرتب» شمرده می‌شوند: (۳ و ۵) و (۵ و ۳) دو حالت جدا هستند، ولی جفت‌ها فقط یک حالت‌اند. به همین دلیل احتمال جفت ۶ از ۳۶ است و نه ۶ از ۲۱.

همین‌جا رایج‌ترین خطای محاسبه در تاس تخته نرد اتفاق می‌افتد. اگر ترتیب را نادیده بگیری، فقط ۲۱ ترکیب متمایز می‌بینی: ۱۵ ترکیب غیرجفت و ۶ جفت. اما این ۲۱ ترکیب هم‌شانس نیستند. هر ترکیب غیرجفتِ مشخص — مثل ۵ و ۳ — دو حالت از ۳۶ را می‌گیرد، چون به دو ترتیب ممکن است بیاید. در عوض هر جفتِ مشخص فقط یک حالت از ۳۶ است، چون یک ترتیب بیشتر ندارد. حساب سرانگشتی‌اش هم درست درمی‌آید: ۱۵ ترکیب غیرجفت × ۲ حالت + ۶ جفت × ۱ حالت = ۳۶. هر شمارشی در این صفحه روی همین ۳۶ حالت انجام شده، نه روی ۲۱ ترکیب. اگر می‌خواهی خودِ فهرست ترکیب‌ها را ببینی، مرجع ترکیب‌های تاس همه را کنار هم گذاشته است.

یک نکته‌ی دیگر که در شمارش دخیل است: جفت در تخته‌نرد چهار حرکت می‌دهد، نه دو. پس جفت ۳ یعنی چهار حرکتِ سه‌خانه‌ای، و همین است که جفت‌ها را به‌رغم احتمال کمِ هر جفتِ مشخص (۱ از ۳۶) این‌قدر تأثیرگذار می‌کند. اینکه از این چهار حرکت چندتایش را مجاز هستی بازی کنی، بحث دیگری است که در حرکت مجاز و قانون استفاده‌ی حداکثری آمده.

مجموع دو تاس

در تخته‌نرد، مجموع فقط وقتی معنا دارد که بخواهی هر دو تاس را روی یک مهره اجرا کنی و خانه‌ی میانی باز باشد.

شمار حالت‌های پوشش هر فاصله

مهم‌ترین کاربرد احتمال در تخته‌نرد این است: «اگر مهره‌ام را در فاصله‌ی d از مهره‌ی حریف بگذارم، با چند حالت می‌تواند بزند؟»

سه نتیجه‌ی عملی

1. فاصله‌ی ۷ امن‌تر از ۶ است: فاصله‌ی ۶ با ۱۷ حالت پوشش داده می‌شود، فاصله‌ی ۷ فقط با ۶ حالت. اگر مجبوری مهره‌ای را در تیررس بگذاری، فاصله‌ی بزرگ‌تر از ۶ معمولاً کم‌ریسک‌تر است.
2. فاصله‌ی ۱ کم‌خطرتر از فاصله‌ی ۴ است: ۱۱ حالت در برابر ۱۵ حالت، چون ۴ با ترکیب‌ها هم ساخته می‌شود.
3. خانه‌ی بسته، احتمال را کم می‌کند: هر خانه‌ی میانی که ببندی، بخشی از ترکیب‌ها را حذف می‌کند؛ عددهای این جدول سقف‌اند.

قانون تاس بزرگ در تخته نرد چه ربطی به احتمال دارد؟

یک اشتباه رایج این است که آدم فکر کند اعداد این صفحه تعیین می‌کنند چه حرکتی بکند. نمی‌کنند. احتمال می‌گوید یک پیشامد چند حالت از ۳۶ را می‌گیرد؛ اینکه با تاسی که آمده چه چیزی مجازی، کار قانون است نه احتمال. و قانون در دو جا دستت را می‌بندد: باید تا جای ممکن از هر دو تاس استفاده کنی، و اگر فقط یکی از دو تاس قابل بازی باشد، آن که بازی می‌شود تاس بزرگ‌تر است.

نتیجه‌ی عملی‌اش این است: محاسبه‌ی ریسک باید بعد از قانون بیاید، نه قبلش. ممکن است جدول بگوید فاصله‌ی ۷ فقط با ۶ حالت پوشش داده می‌شود، اما اگر موقعیت به‌گونه‌ای باشد که حریف مجبور شود تاس بزرگ‌تر را بازی کند، همان چند حالت هم رفتار دیگری پیدا می‌کنند. برای همین است که در این سایت دو ابزار جدا وجود دارد: یکی می‌شمارد و یکی قانون را اجرا می‌کند. هر دو را در صفحه‌ی ابزارهای آزمایشگاه کنار هم می‌بینی، و متن دقیق خودِ قوانین در مرجع قوانین تخته نرد آمده است.

آیا می‌شود تاس تخته نرد را پیش‌بینی کرد؟

نه. و این «نه» یک احتیاط حقوقی نیست، یک نتیجه‌ی ریاضی است. دو تاس مستقل‌اند، یعنی نتیجه‌ی این نوبت هیچ اطلاعی درباره‌ی نوبت بعد نمی‌دهد. اگر سه بار پشت‌سرهم جفت ۶ آمده باشد، احتمال جفت ۶ در نوبت چهارم باز هم دقیقاً ۱ از ۳۶ است — نه بیشتر و نه کمتر. تاس حافظه ندارد و «نوبتش» هم نمی‌شود.

باوری که پشت این توهم است، «خطای قمارباز» نام دارد: اینکه فکر کنیم یک نتیجه‌ی کم‌پیش‌آمده «بدهکار» است و باید جبران شود. چیزی که در واقع اتفاق می‌افتد این است که در تعداد زیاد پرتاب، نسبت‌ها به همان عددهای این صفحه نزدیک می‌شوند؛ اما این حکمی درباره‌ی پرتاب بعدی نیست و ترتیب آمدنشان را هم تعیین نمی‌کند.

پس هر چیزی که وعده‌ی تشخیص الگوی تاس، ربات پیش‌بینی یا سیستم بی‌باخت بدهد، بی‌پایه است. چیزی که واقعاً قابل تحلیل است تصمیم توست، نه نتیجه‌ی تاس: اینکه با هر تاسی که آمد کدام دنباله را انتخاب کنی و مهره‌ات را در چه فاصله‌ای رها کنی. اعداد این صفحه برای همین‌اند.