زدن مهره و بار: تحلیل عددی

زدن مهره تنها مکانیزمی است که به بازیکن عقب‌افتاده امکان برگشت می‌دهد. اینجا این مکانیزم را با عدد بررسی می‌کنیم: چقدر محتمل است، چقدر هزینه دارد و چطور می‌شود احتمالش را کم کرد. اگر دنبال متن خودِ قانون زدن و بلند شدن در تخته نرد هستی، تعریف رسمی‌اش در مرجع قوانین آمده؛ این صفحه همان قانون را با عدد وزن می‌کند.

تعریف: قانون خوردن مهره در تخته نرد

خانه‌ای که فقط یک مهره روی آن است «تک» یا «بلات» نام دارد. اگر حریف روی آن بنشیند، مهره به بار می‌رود و صاحبش تا بازگرداندن آن حق هیچ حرکت دیگری ندارد.

شرط زدن دقیقاً یک عدد است و همین یک عدد کل قانون را می‌سازد: فقط مهره‌ی تنها زده می‌شود. با دو مهره یا بیشتر، خانه بسته است و حریف نه می‌تواند بزند و نه وارد شود. صفر مهره هم که چیزی برای زدن ندارد. پس قانون زدن مهره در تخته نرد در خانه را می‌توان در یک جمله خلاصه کرد: تعداد مهره‌های حریف روی خانه‌ی مقصد اگر ۱ باشد زده می‌شود، اگر ۰ باشد خانه آزاد است و اگر ۲ یا بیشتر باشد خانه بسته است.

دو چیز که زدن نیست را هم روشن کنیم: مهره‌ی زده‌شده حذف نمی‌شود، فقط به بار می‌رود و از نقطه‌ی صفر مسیرش را دوباره شروع می‌کند؛ و زدن اختیاری هم نیست — اگر تنها دنباله‌ی قانونی موجود روی مهره‌ی تک حریف بنشیند، مجبوری بزنی، حتی اگر به نفعت نباشد.

احتمال زده‌شدن بر حسب فاصله

مهره‌ی تک تو در فاصله‌ی d از مهره‌ی حریف قرار دارد. تعداد حالت‌هایی از ۳۶ که این فاصله را پوشش می‌دهند (با فرض باز بودن خانه‌های میانی) چنین است. این اعداد همان اعداد صفحه‌ی احتمالات تاس هستند و از یک منبع می‌آیند: شمارش مستقیم ۳۶ حالت. هیچ عددی اینجا جداگانه محاسبه نشده است.

نکته‌ی مهم: فاصله‌ی ۷ با فقط ۶ حالت پوشش داده می‌شود، در حالی که فاصله‌ی ۶ با ۱۷ حالت. یعنی گاهی «دورتر گذاشتن» مهره از «نزدیک‌تر گذاشتن» امن‌تر است.

هزینه‌ی زده‌شدن

هزینه (پیپ) = فاصله‌ی طی‌شده‌ی مهره + نوبت‌های صرف‌شده برای بازگشت

مهره‌ای که روی خانه‌ی ۴ زده شود، از ۲۵ پیپ دوباره شروع می‌کند؛ یعنی ۲۱ پیپ عقب‌گرد. برای مقایسه: میانگین پیشرفت هر نوبت حدود ۸٫۱۷ پیپ است، پس این ضربه تقریباً معادل از دست دادن ۲٫۵ نوبت کامل است.

میانگین پیپ هر نوبت = (مجموع تاس‌های غیرجفت + مجموع چهارحرکتی جفت‌ها) ÷ ۳۶ ≈ ۸٫۱۷

بازگشت از بار

خانه‌ی ورود برای بازیکن پایین برابر ۲۵ − عدد تاس است. احتمال ورود به تعداد خانه‌های باز بستگی دارد:

خانه‌های باز از ۶	احتمال ورود در یک نوبت
۶	۱۰۰٪
۵	۹۷٫۲٪ (۳۵ از ۳۶)
۴	۸۸٫۹٪ (۳۲ از ۳۶)
۳	۷۵٪ (۲۷ از ۳۶)
۲	۵۵٫۶٪ (۲۰ از ۳۶)
۱	۳۰٫۶٪ (۱۱ از ۳۶)
۰	۰٪

احتمال ورود = ۱ − (تعداد خانه‌های بسته ÷ ۶)²

نتیجه‌گیری عملی

• هر خانه‌ی بسته‌ی اضافه در خانه‌ی داخلی، افت محسوسی در شانس ورود حریف ایجاد می‌کند؛ از ۴ خانه‌ی بسته به بعد این افت تند می‌شود.
• زدنی که هم‌زمان خانه می‌سازد، دو برابر ارزش دارد: هم زمان می‌خری و هم بازگشت را سخت می‌کنی.
• پیش از رها کردن مهره‌ی تک، فاصله را با جدول بالا بسنج؛ تفاوت ۱۷ و ۶ حالت تفاوت دو تصمیم کاملاً متفاوت است.

بلند شدن: طرف دوم قانون

«بلند شدن» یعنی بازگرداندن مهره از بار، و مهم‌ترین چیزش یک اولویت مطلق است: تا وقتی مهره‌ای روی بار داری، هیچ حرکت دیگری مجاز نیست. نمی‌توانی اول یک خانه بسازی و بعد وارد شوی؛ ورود مقدم بر همه‌چیز است. اگر هر دو تاس قابل استفاده برای ورود نباشند، آن که می‌تواند صرف ورود می‌شود و بعد نوبت به دیگری می‌رسد.

نکته‌ی عملی‌اش این است که یک مهره روی بار، کل نوبتت را گرو می‌گیرد. اگر دو مهره روی بار داشته باشی، باید هر دو وارد شوند تا اجازه‌ی حرکت دیگری داشته باشی — و با تاس‌های متفاوت این یعنی کل نوبت صرف ورود می‌شود. به همین دلیل است که بستن خانه‌های داخلی یک کار تهاجمی است: هر خانه‌ی بسته‌ی اضافه، هم احتمال ورود را پایین می‌آورد و هم نوبت‌های بیشتری از حریف می‌گیرد.

یک حالت حدی هم هست: اگر حریف هر شش خانه‌ی داخلی‌اش را بسته باشد، احتمال ورود صفر است و نوبت تو بی‌حرکت رد می‌شود — به این وضعیت «بسته‌شدن کامل» می‌گویند و تا باز شدن یکی از آن شش خانه ادامه دارد.